交换代数的完备化

日期:2019-07-04编辑作者:足球

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  设U是环R的理想,取{Unn≥0}为R中零元素的基本邻域系,则R由此成为拓扑环。R中这个拓扑称为U-adic拓扑,并且,R是豪斯多夫拓扑空间。类似地,设M为R模,取为零元素的基本邻域系,则M由此成为拓扑R 模,并且M对於这种U-adic拓扑是豪斯多夫空间。若 R 为诺特环而M是有限生成R 模,则对於R的每个真理想U,条件和满足,这时,U-adic豪斯多夫空间R 和M可以拓扑完备化成环惵 和惵模,理想U作为R 模的完备化是环惵 的理想,惵 和由R(和M)中 U-adic拓扑诱导出的拓扑就是-adic拓扑,并且=惵M。完备化函子R→惵和M→保持环和模的许多特性,而将R或M完备化成惵或之後的好处,是可以采用极限和收敛等解析工具,从而,完备化也是代数几何和代数数论以及许多其他学科的重要研究手段。

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